unidad 3: ALGEBRA TRADICIONAL

 

 

 3.1-Expresiones algebraicas:clasificacion y operaciones

3.1.1-Expresiones algebraicas en contexto

3.1.2-El lenguaje algebraico en contexto

3.1.3-Valor numerico de expresiones algebraicas en contexto

3.1.4-Operaciones algebraicas con monomios, binomios y trinomios

3.1.5-Los productos notables

3.1.6-La factorizacion

3.1- Expresiones algebraicas: clasificacion y operaciones

Monomio: expresión algebraica constituída por un sólo término.

Todo monomio consta, de dos partes:

Coeficiente: el número del monomio.

Parte literal : las letras con sus exponentes

En un monomio, las letras solamente están afectadas por operaciones de producto y de potencia de exponente natural.

 

BINOMIO:  Es una expresión algebraica que consta de 2 términos, se refiere a un polinomio formado por dos monomios, se usa mas facil para indicar cualquier expresion que consta de una suma o resta de dos terminos.

POLINOMIO:  Es una expresión algebraica que consta de más de un término, se encuentra sobre un anillo conmutativo A constituida por un numero finito de variables y constantes, utilizando solamente en operaciones de adiccion, sustraccion, multiplicacion y potenciacion con exonentes de numeros naturales.

3.1.1- Expresiones algebraicas en contexto

Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras.

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.

Longitud de la circunferencia: L = 2r, donde r es el radio de la circunferencia.

Área del cuadrado: S = l², donde l es el lado del cuadrado.

Volumen del cubo: V = a³, donde a es la arista del cubo.

Expresiones algebraicas comunes

El doble o duplo de un número: 2x

El triple de un número: 3x

El cuádruplo de un número: 4x

La mitad de un número: x/2.

Un tercio de un número: x/3.

Un cuarto de un número: x/4.

Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,..

Un número al cuadrado: x²

Un número al cubo: x³

Dos números consecutivos: x y x + 1.

Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2.

Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3.

Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x.

La suma de dos números es 24: x y 24 − x.

La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x.

El producto de dos números es 24: x y 24/x.

El cociente de dos números es 24; x y 24 · x. 

Tipos de expresiones algebraicas

Monomio

Un monomio es una expresión algebraica formada por un solo término.

Binomio

Un binomio es una expresión algebraica formada por dos términos.

Trinomio

Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres términos.

Polinomio

Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un término.

3.1.2- El lenguaje algebraico en contexto

Se le llama lenguaje algebraico al utilizado para la representacion de valores numericos, cuando estos son desconocidos en magnitud.
este lenguaje es el metodo que permite simplificar teoremas o problemas matematicos mostrando generalidades.

Para poder manejar el lenguaje álgebraico es necesario comprender lo siguiente:

• Se usan todas las letras del alfabeto.
• Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como constantes, es decir, cualquier número o constante como el vocablo pi.
• Por lo regular las letras X., Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables de la función o expresión álgebraica.

El lenguaje que usamos en operaciones aritméticas en las que sólo intervienen números se llama lenguaje numérico.

En ocasiones empleamos letras para representar cualquier número desconocido, realizamos operaciones aritméticas con ellas e, incluso, las incluimos en expresiones matemáticas para poder calcular su valor numérico.

El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos, y, además, las trata como números en operaciones y propiedades, se llama lenguaje algebraico.

La parte de las Matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos se llama Álgebra.

Características del lenguaje algebraico

1.- El lenguaje algebraico es más preciso que el lenguaje numérico: podemos expresar enunciados de una forma más breve.

El conjunto de los múltiplos de 5 es 5 • = {±5, ±10, ±15, ...}.

En lenguaje algebraico se expresa 5 • n, con n un número entero.

2.- El lenguaje algebraico permite expresar relaciones y propiedades numéricas de carácter general.

La propiedad conmutativa del producto se expresa a • b = b • a, donde a y b son dos números cualesquiera.

3.- Con el lenguaje algebraico expresamos números desconocidos y realizamos operaciones aritméticas con ellos.

El doble de un número es seis se expresa 2 • x = 6.

Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones aritméticas. Una expresión algebraica se define como aquella que está constituida por coeficientes, exponentes y bases.

Coeficiente numérico: es la cantidad numérica o letra que se encuentra a la izquierda de la base, la cual indica la cantidad de veces que la base se debe sumar o restar dependiendo del signo que tenga.

Ejemplos:

7x⁴ = x⁴ + x⁴ + x⁴ + x⁴ + x⁴ + x⁴ + x⁴

– 3x² = –  x² – x² – x²

3.1.3- Valor numerico de expresiones algebraicas en contexto

El valor númerico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta por valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas.

 Valor numérico de un polinomio

El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

Es un número que obtenemos al sustituir las letras de una expresión algebraica por números.

Se llama valor númerico de una expresión algebraica al número que se obtienes al sustituir cada una de sus variables por el valor que se les halla asignado de antemano, y de efectuar la operación indicada.

 

 

Valor numérico de una fracción algebraica:

Valor numérico de una fracción algebraica, para determinados valores de sus indeterminadas, es el número que resulta al sustituir estas por sus valores respectivos y realizar las operaciones indicadas. Cuando los dos términos de una fracción son polinomios en “X”, el hecho de que se anulen para un valor determinado “A”, significa que son divisibles por (X - A) y se puede simplificar la fracción descomponiendo sus dos términos en factores. El valor numérico de la fracción descomponiendo sus dos términos en factores. El valor numérico de la fracción equivalente obtenida se llama verdadero valor de la fracción dada.

 

3.1.4- Operaciones algebraicas con monomios, binomios y trinomios

1. Expresiones algebraicas

Expresión algebraica es la forma de las matemáticas que escribimos con letras, números, potencias y signos.

Coeficiente 3a2 Grado

Parte literal

Al número le llamamos coeficiente, a la letra o letras les llamamos parte literal y al exponente le llamamos grado.

Valor número de una expresión algebraica. Para hallar el valor numérico de una expresión algebraica sustituimos las letras por el valor dado y hacemos las operaciones que se nos indiquen.

Clases de expresiones algebraicas:

1ª- Si una expresión algebraica está formada por un solo término se llama monomio. Ej: 3×2

2ª- Toda expresión algebraica que esté formada por dos términos se llama binomio. Ej: 2×2 + 3xy

 3ª- Toda expresión algebraica formada por tres términos se llama trinomio.

Ej: 5×2 + 4y5 - 6×2y

4ª- Si la expresión algebraica tiene varios términos se llama polinomio.

Polinomio es un conjunto de monomios. Tendremos en cuenta lo siguiente:

1º- Si está ordenado. Para ordenar un polinomio, colocamos los monomios de mayor a menor, según su grado.

2º- Si está completo. Completar un polinomio es añadir los términos que falten poniendo de coeficiente 0.

3º- Cuál es su grado. El grado de un polinomio es el mayor exponente de sus términos.

Expresiones algebraicas equivalentes: Dos o más expresiones algebraicas son equivalentes cuando tienen el mismo valor númerico.

Ejercicios operatorios con los monomios y polinomios

Suma o resta de monomios: Para sumar o restar monomios es necesario que sean semejantes. Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal y el mismo grado. Ej: 2×3 + 5×3 - 6×3.

Para hacer la operación sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal. Ej: 2×3 + 5×3 - 6×3 = x3.

Multiplicación de monomios: Para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes. Para ello se multiplican los coeficientes, se deja la misma parte literal y se suman los grados. Ej: 3xy.4×2y3= 12×3y4

División de monomios: Para dividir dos monomios, se dividen los coeficientes, se deja la misma parte literal y se restan los grados. Ej: 4×5y3:2×2y= 2×3y2

Suma de polinomios: Para sumar polinomios colocaremos cada monomio debajo de los que son semejantes y sumaremos sus coeficientes.

Ej: 7×5+0×4+3×3+4×2–2x

5×5+0×4+0×3 -x2 -x

12×5+0×4+3×3+3×2–3x

Multiplicación de polinomios: Para multiplicar polinomios haremos lo mismo que para multiplicar monomios, multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados de las letras que son iguales.

Si son varios los polinomios que tenemos que multiplicar haremos lo mismo pero pondremos los que son semejantes debajo unos de otros y los sumaremos al final.

Ej: P(x)= 2×5+3×4–2×3-x2+2x

Q(x)= 2×3

P(x).Q(x)= 4×8+6×7–4×6–2×5+4×4

División de polinomios: Para dividir un polinomio y un monomio, ordenamos y completamos los polinomios, dividimos el primer monomio del dividendo por los monomios del divisor, multiplicamos el cociente por el divisor y se lo restamos del dividendo. Así sucesivamente.

Para dividir dos polinomios haremos lo mismo que para dividir monomios y polinomios, teniendo en cuenta que en el divisor nos encontraremos con 2 términos.

3.1.5- Los productos notables

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.

 Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Por ejemplo:

De un binomio: (a+b)² = a² + 2ab + b2

Cubo de un binomio: (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Binomios conjugados: (a+b)(a—b) = a² - b²

Binomios con término común: (x+b)(x+d) = X² + (b+d)X + bd

Binomios con término semejante: (ax+b)(cx+d) = acX² + (ad + bc)x + bd

Producto de la forma: (a+b)(a² - ab + b²) = a³ + b³

(a-b)(a² + ab + b²) = a³ - b³

 

 

 

 

3.1.6 - La factorizacion

Factor común.- se llama así al factor que aparece en cada uno de los términos de un polinomio.

Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes.

 ejemplo:

Descomponer en factores a(x+2y)-3(x+2y)

En este ejemplo el factor común en (x+2y), ya que aparece en los términos que componen el polinomio, por tanto (x+2y)(a-3)=a(x+2y)-3(x+2y).